O równoważności obrazów Heisenberga i Schrödingera wspominałem w poprzednim wpisie. Ponieważ trochę więcej już się w tym temacie orientuję chciałbym trochę więcej na ten temat napisać.
W podstawowych podręcznikach do mechaniki kwantowej autorzy często podają stwierdzenie, iż obrazy Schrödingera i Heisenberga są równoważne, ponieważ w obu przypadkach przewidywanie wartości średniej pomiaru danej obserwabli jest równe. To jest, w hilbertowskim sformułowaniu:
$(\psi_S, A_S\psi_S) = (\psi_H, A_H\psi_H),$
gdzie $\psi_S, A_S$ to stan i obserwabla w obrazie Schrödingera, a $\psi_H, A_H$ to stan i obserwabla w obrazie Heisenberga.
Jednakże stwierdzenie, iż powyższa równość wystarcza do tego, by orzec o równoważności tych obrazów jest zdecydowanie nieprawdziwe.
Podejście Heisenberga, kładące większy nacisk na obserwable, rozwinęło się w teorię algebr obserwabli (C*-algebr, algebr von Neumanna, algebr Jordana). Natomiast droga Schrödingera była mocno związana z pojęciem stanu. Ponieważ stany tworzą zbiór wypukły, teoria zbiorów wypukłych ciągle się gdzieś przewijała.
Jednakże o ile z algebry obserwabli jesteśmy w stanie otrzymać zbiór stanów (funkcjonały na algebrze), o tyle droga odwrotna, tj. od zbioru stanów do algebry obserwabli jest zdecydowanie bardziej skomplikowana. Algebry operatorów posiadają znacznie bogatszą strukturę niż zbiór wypukły. Potrzeba więc było pewnego kryterium, które pozwalałoby stwierdzić, że dany zbiór wypukły może być zbiorem stanów dla jakiejść algebry obserwabli. Takiej charakteryzacji dokonał Erik M. Alfsen i Frederik W. Shultz. Wyniki zebrane są książce ich autorstwa pt. Geometry of States Spaces of Operator Algebras. Co więcej, możliwe jest zrekonstruowanie ze zbioru stanów algebry obserwabli. Ten wynik dopiero dowodzi pełnej równoważności obu obrazów.
